[선형대수학] 선형대수학을 위한 벡터

https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra <- 해당 사이트에서 공부한 내용을 정리하였습니다.

 

1. 벡터란

크기와 방향을 동시에 나타내는 것을 벡터라고 합니다.

 

• 시속 5마일로 움직이는 물체
• 동쪽으로 이동하는 물체

위의 두가지는 크기와 방향 둘 중 하나만을 나타내기에 벡터로 표현 할 수 없습니다. (1번째의 경우처럼 속력만 나타내는 것은 스칼라라고 부릅니다.)

 

하지만 위의 두개의 조건을 합쳐서

 

• 시속 5마일로 동쪽으로 이동하는 물체

다음과 같이 만들게 된다면 크기와 방향을 동시에 나타내기 때문에 벡터로 표현할 수 있게 됩니다.

=> 크기와 방향을 동시에 나타내는 것을 속도라고도 부릅니다. 즉 벡터는 속도입니다.

 

2. 벡터를 표현하는 방법

2-1. 좌표평면에 나타내는 법

x축 방향이 동쪽인 2차원 좌표평면에 그린 벡터

2차원 좌표평면에 위에서 말한 시속 5마일로 동쪽으로 이동하는 벡터를 그려보았습니다.

화살표의 길이는 벡터의 크기이고, 화살표의 방향은 이동 방향입니다.

벡터는 크기와 방향만 고려해주면 되는데요, 때문에 어디에서 시작하는지, 어디에 표현하는지는 상관하지 않습니다.

때문에 사진에 있는 두 벡터는 크기와 방향이 같기 때문에 서로 완전히 같은 벡터입니다.

2-2. 수학 기호로 나타내는 법

$$ \vec{v} = \left(5, 0\right) = \begin{bmatrix}5 \\0 \end{bmatrix} $$

벡터는 차원의 갯수만큼 표현 할 수 있습니다. 각 차원에서 움직인 만큼의 값을 나타내주면 됩니다.

시속 5마일로 동쪽으로 이동하는 벡터는 x축 방향으로 5, y축 방향으로 0만큼 이동했기에 (5, 0)으로 나타냅니다.

선형대수학에서는 일반적으로 열 벡터로 나타냅니다.

x방향으로 3, y방향으로 4만큼 움직이는 벡터

x방향으로 3, y방향으로 4만큼 이동하는 벡터를 예시로 들어보자면 \( \vec{a} = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} \)와 같이 쓸 수 있고, 피타고라스 정리를 통해 크기는 5 라는 것을 알 수 있게 됩니다.